2010中考专题复习十二 面积及对称性问题
一、复习指导
图形面积问题和对称性问题的知识，是考查学生综合应用各类知识的能力与创新能力的新题型，在近年来的全国各地中考卷中，成为中考数学卷中的一个亮点，这类题在近年来的中考试题中一般占2-12分，选择题和填空题及解答题均有出现。“面积及对称性问题”是指是面积与对称关系紧密结合的一类问题，求图形的面积，有的可直接求解，而有的直接求则计算繁杂，甚至无法求解，应采用一定的技巧，化难为易，巧算面积。常用的方法有平移法 、旋转法 、翻折法 、比例法 、规律法 、实验法。把握各种变换的特征和性质，学会用数形结合的思想方法去分析解决问题，大胆猜想小心求证，多见题型强化训练。
二、中考试题剖析
例1.（2009年内蒙古包头）下
列图形中，既是轴对称图形又是中
心对称图形的有（ ）
A．4个B．个C．2个D．个解析：本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，轴对称图形是指将图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形，而中心对称图形是指将图形沿某个点旋转180°后得到的图形与原图形完全重合的图形。故同时符合上面两个条件的是第1、3和4个图形。
答案：B。
例2.（2009恩施市）恩施州自
然风光无限，特别是以“雄 、奇 、秀 、幽 、险”著称于世。著名的恩
施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B） 位于笔直的沪渝高
速公路X同侧，AB=50km，A 、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A 、B两景区运送游客。小民设计了两种方案，图1是方案一的
示意图（AP与直线X垂直，垂足为
P），P到A 、B的距离之和S1=PA＋
PB，图2是方案二的示意图（点A关
于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P），P到A 、B的距离之和S2=PA＋PB。
（1）求S1、S2并比较它们的
大小；
（2）请你说明S2=PA＋PB的值为
最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速
公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A 、B 、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值。
分析：这是一道以课本题目为蓝本的变型题，它所用的主要知识是轴对称的有关知识。
解:⑴图1中过B作BC⊥AP，垂足为C，则PC=40，又AP=10，
∴AC=30
在Rt△ABC中，AB=50AC=30
∴BC=40∴BP=CP2+BC
2
姨=402 姨∴S1402 姨+10⑵图2中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，又BC=40
∴BA′=40
2
+50
2
姨=1041 姨由轴对称知：PA=PA′∴S2=BA′=1041 姨
∴S1>S2
(2)如图2，在公路上任找一点M，连接MA,MB,A′，由轴对称知MA=MA′∴MB+MA=MB+MA'>A'B∴S2BA′为最小
（3）过A作关于X轴的对称点
A′，过B作关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，交X轴于点P,交Y轴于点Q，则P，Q即为所求过A′、B′分别作X轴 、Y轴的平行线交于点G，
A′B′=100
2+502
姨=505 姨∴所求四边形的周长为50+505 姨点评：轴对称是初中阶段比较重要的知识，它在生产 、生活中应用广泛，所以题目常以生产生活为背景，题型比较灵活多变，又多以最大值的形式出现较多，但只要掌握轴对称及相关知识，掌握其基本解法，解决应该不会困难。
例3（2008年南昌市）如图5，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F。
（1）请写出三条与BC有关的
正确结论；
（2）当∠D＝30
0
，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．分析：图中阴影部分可看作扇形面积减去△AOC面积，而△AOC不是Rt△，所以考虑利用三角形中位线得OF，即得阴影部分面积。
解：（1）答案不唯一，只要
合理均可。例如：①BC＝BD；②OF∥BC；③∠BCD＝∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC
2
=BE·AB；⑥BC
2
=CE
2
＋BE2；
⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形。
（2）连结OC，则OC=OA=OB．∵∠D＝30
0
，∴∠A＝∠D＝30
0
，∴
∠AOC＝120
0。
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝
900。
在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝3 姨。
∵OF⊥AC，∴AF＝CF。
∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线。
∴OF=12
BC=
12
。
∴S△AOC=12AC·OF=12×3 姨×12
=
3 姨
4。 S扇形AOC=13仔×OA2仔3
．
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=仔3
-
3 姨
4
．
点评：把不能直接计算面积的图形利用平移变换，旋转变换，全 等变换 、或等积变换等转换成可以计算面积的图形，是解决此类问题的关键。
三、中考试题精选
(一)填空题
1.（2009柳 州 ）请写出一
个是轴对称图形的图形名称。
答：。
2.（2009年杭州市）如图7是
镜子中看到的小明所穿衣服上的号码，则实际号码是___________。
3．（2009襄樊市）如图8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC 、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为。
（结果保留π）4．（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2） 两点，现另取一点C（1，
n），当n=________时，AC+BC的值最小。
5.如图9，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为
（结果保留π）。
6．（2009年河南）如图10，在半径为5 姨，圆心角等于45
0
的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D.在OB上，点F
在 上，则阴影部分的面积为（结
果保留π）。
7.如图11（1）是某公司的图
标，它是由一个扇环形和圆组成，
其设计方法如图11（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA.BE为半径画扇形，得到如
图所示的扇环形，图11（1）中的圆
与扇环的面积比为。
（二）选择题8．（2009年广西钦州）某校计
划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形 、正三角形 、等腰梯形 、菱形等四种方
案，你认为符合条件的是（ ）
A．等腰三角形B．正三角形C．腰梯形D．菱形
9．（2009年贵州黔东南州）设
矩形ABCD的长与宽的和为2，以AB为轴心旋转一周得到一个几何体，
则此几何体的侧面积有（ ）
A.最小值4πB.最大值4πC.最大值2πD.最小值2π
10．（2009年济宁市）一个几
何体的三视图如图12所示，那么这
个几何体的表面积是（ ）
A.4πB.6πC.8πD.12π
11．（2009年茂名市）如图13，
一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞
需用布料的面积是（ ）
A．4π平方米B．2π平方米C．π平方米D．
12
π平方米
12.（2009年天津市）在平面
直角坐标系中，先将抛物线y＝x
2
＋x－
2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的
解析式为（ ）
A．y＝－x
2
－x＋2B．y＝－x
2
＋x－2C．＝－x2＋x＋2D．y＝x
2
＋x＋2
（三）解答题13．（2009年内蒙古包头）如图14，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝23 姨中，⊙A与BC相切于点D，且交AB 、AC于M 、N两点，
则图中阴影部分的面积是多少（保
留π）。
14.（2009柳州）如图15，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1。
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）（2）设网格小正方形的边长为
1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的
面积。（结果保留π）15．（2009年广东省）（1）如图16，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA.OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的13
。
（2）如图17，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和
△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的
13
。
参考答案(答案未完)1.圆 、矩形等；2．3265；
3．10π-2；4．-25(或－0.4)；5.
12π；
6．
58π－1；7.4：9；8．；9．C；10．C；11．B；12.C
13．连接AD，则AD⊥BC，
∴BD＝12
BC=3 姨∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝
12
（180°－∠A）＝30°在△ABD中，AD＝BDtanB＝3 姨×3 姨
3＝1，∴S阴影=S△ABC-S 肩形AMN=12BC·AD-120π·AD
2
360=
12
×23 姨×1×-
120π·1
2
360
=3 姨
-
π3
．
14.（1）作图如下：（2） 线段BC所扫过的图形如图
所示。
根据网格图知：AB=4，BC=3，所以AC=5，线段BC所扫过的图形的面积S=
14
π（AC
2
-AB
2
=9π
4
（cm
2）
15．证明：（1）如图，连结
OA.OC，因为点O是等边三角形ABC的 外 心，所 以Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA．SOFCG=2S△OFC=S△OAC，因为S△OAC=13
S
△ABC，所以SOFCG=13
S△ABC。
（2）连结OA.B和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2，不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，∴∠3=∠5，在△OAG和△OCF中∠1=∠2
OA=OC
∠3=∠5∴△OAG≌△OCF，
∴SOFCG=S△AOC=13
S△ABC
（黄牛柳冰）
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