2010年中考数学专题复习五 函数
一、复习指导
函数是“数与代数”部分最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用。函数是历年来中考的热点与难点，与函数知识有关的考题约占全部试题的15%～30%。函数知识在各种题型中都有出现，考查的内容主要包括平面直角坐标系、函数自变量的取值范围、一次函数、反比例函数，二次函数的概念、图像及其性质，由已知条件求函数解析式、一次函数与二元一次方程
（组）的关系，利用函数来解决实际应用问题
等等。近年各地的中考题中，出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数应用题。
这类题目注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力，所以考生要善于根据数形结合的特点，深刻理解一次函数、反比例函数、二次函数的定义、图像、性质，并能运用其性质将函数问题、几
何问题及实际问题转化为方程（组）或不等式（组）问题，利用转化的思想把复杂的问
题转化为简单的数学问题进行解决；考生要重视函数的数学建模问题，提高理解、分析问题及解决问题的能力。
二、中考试题剖析
例1（2009年新疆乌鲁木齐市）星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气。之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气。储气罐中的储气量
（立方米）y与时间x（小时）的函数关系如
图1所示。
（18：00~8：30，燃气公司向储气罐注
入了多少立方米的天然气？
（2当x≥0.5时，求储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式。
（3请你判断，正在排队等候的第18辆
车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由。
分析：由图像反过来研究对应的实际问题，这类问题解决的基本过程是：“图像→对应的函数关系→实际问题”。
解：（1）由图可知，星期天当日注入了10000－2000＝8000立方米的天然气。
（2当x≥0.5时，设储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式为：y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)，故所求函数解析式为：y＝－200x＋
10100。
（3可以。
∵给18辆车加气需18×20＝360（立方米），储气量为10000－360＝9640（立方米）， 于是有：9640＝－200x＋10100，解得：x＝2.3；而从8：00到10：30相差2.小时，显然有：2.3<2.5。
故第18辆车在当天10：30之前可以加完气。
点评：（1）本题考查同学们利用函数
图像解决实际问题的能力。题目叙述简明，要求简单明了，较好地落实了对这个知识点的考查。
（２）本例以实际生活为背景，用分段
函数来描述实际问题，考查了对函数图像的识图能力和分析问题能力，同学们平时要关注生活中蕴含的数学问题。
例2（2009年内蒙古包头）已知二次函
数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图像经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x=m(m>2)与x
轴交于点D。
（1求二次函数的解析式；（2在直线x=m(m>2)上有一点E（点E
在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E
点坐标（用含m的代数式表示）；（3在（2成立的条件下，抛物线上是
否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由。
分析：在分析解题方法时，一定要结合图形探究三角形相似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，本题涉及到一元二次方程的解法等，综合性较强，稍有疏忽就容易失分。
解（1）根据题意，得(2)当ΔEDB与ΔAOC相似时，有
AOED=COBD
或
AOBD=COEDX。
∵AO=1，CO=2，BD=m-2，当
AOED=COBD
时，得
1
ED=
2
m-2
，∴ED=
m-2
2
，∵点E在第四象限，∴E1(m,
2-m
2
)；同理，当
AOBD=COED
X时，求得E2(m，4－2m)。
（3）假设抛物线上存在一点P，使得四
边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1，当点E1的坐标为(m,
2-m
2
)时，点F1的坐标为(m-1,
2-m
2)，
∵点F1在抛物线的图像上，∴
2-m
2
=-（m-1)
2
X+3(m-1)-2，
∴2m
2
－11m＋14=0，∴(m－7)(m－2)=0X∴m=72，m=2(舍去)∴F1(52
，-
34
)
∴SWABEF=1×34
=
34
。
当点E2的坐标为E2(m，4－2m)时，易求得点F2的坐标为(4，－6)XXX∴S平行四边 形ABEF=1×6=6点评：（2）中讨论ΔEDB与ΔAOC
相似的条件时，题目中未用相似符号连接，应按不同的对应关系分情况讨论，否则易漏
解。（3）中在求是否存在点E时，应先假设 存在，列得关系式，如果有解，并且符合题意，就存在；如果无解或解得的结果不符合题意，就不存在。
三、中考试题精选
（一）选择题1．（2009年包头）函数y=x+2 姨中，自变量x的取值范围是（ ）A．x>－2XXXB．x≥－2XXXXXXXXXXXC．x≠－2XXXD．x≤－22．（2009年广西南宁）已知二次函数
y=ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图像如图2所示，有下列四个结论：①b<0②c>0③b
2
－4ac>0④a－b＋c，其中正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3.2009年烟 台市 ）如 图3，直线y=kx＋b经过点A(－1，－2)和点B(－2，0)，直线y=2x过点A，则不等式2x
函数y=-1 20
X
2（x＞0），若该车某次的刹车距离为5X，则开始刹车时的速度为（ ）
A.X40Xm / sXXXB.X20Xm / sXXXC.10Xm / sXXD.X5Xm / s
5．(2009年潍坊)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=-8x
与一次函数y=－x＋2交于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）A．2XXXXB．6XXXXC．10XXXXD．8XXXXXX（二）填空题6．（2009年柳州）反比例函数y=
m+1
x
的
图像经过点（2，1），则m的值是。
7．(2009年宁德市)张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则
y=XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX。
8.（2009年北京市）若把代数式x
2
－2x－3化为(x-m)
2
+k的形式，其中m，k为常数，则m＋k=XXXXXXXXXXXXXXX。
9.（2009年黄石市）图4中正比例函数
与反比例函数的图像相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个
阴影部分面积的和是。
10.X（2009年成都）已知 M(a，b)是平面
直角坐标系xOy中的点，其中a是从 l2，3三个数中任取的一个数，b是从 l2，3，4四个数中任取的一个数。．定义“点 M(a，b)在直线x+y= n上”为事件 Q n(2≤ n≤7， n为整数)，则当 Q n的概率最大时， n的所有可能的值为。
（三）解答题X11．（2009年安顺 ） 已知一次函数y=kx＋b(k≠0)和反比例函数y=
k 2x的图像交于点A(1，1)X。
(1)X求两个函数的解析式；(2)X若点B是x轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标。
12．（2009年重庆市江津区）某商场在
销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每
件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第
6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格y（元）与周次x
之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价 z（元）与周次x之间的关
系为 z=-18（x-8）
2
+12，1≤x≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
13．（2009年衢州）（如图5，已知点A（-4，8）和点B(2， n)在抛物线y=ax
2
上。
（1） 求a的值及点B关于x轴对称点P
的坐标，并在x轴上找一点 Q，使得AQ+QB最短，求出点 Q的坐标；
（2）平移抛物线y=ax
2
，记平移后点A的对应点为A '点B的对应点为B '点C
（-2，0）和点D（-4，0是x轴上的两个定
点。
①当抛物线向左平移到某个位置时，A '+CB '最短，求此时抛物线的函数解析式。
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ' 'D的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由。
参考答案：
1.XB；2.C；3.B；4.XC；5.XB；
6.X1；7.X5Xx＋10；8.X-3；9.Xπ；10.X4，5；
11.1）y=2x-1，y=1x
X；2）1，0）或（2，0）；
12.X1）y=
（2）在第11周进货并售出后，所获利润最
大且为每件19
18
元。
13．（1）a=
12
X，点P的坐标为(2，-2)，点
Q的坐标是（
45，0）
（2）①y=
12
（x+
145)2
XXXXX②左平移时，y=
12
（x+
165)2。
（黄牛柳冰）
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