数学篇：统计与概率 北京四中网校数学组编写
一、要点梳理
1. 数据的收集及整理
（1）普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的。（2）一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想。（3）用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样。（4）条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额。
2. 数据的分析
（1）平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息。平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响。（2）中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半。中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息。（3）众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多。众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息。（4）方差公式：
公式
极差就是一组数据中的最大值减去最小值所得的差。它可以反映一组数据的变化范围。方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况。
（5）绘制频数分布直方图的步骤①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③决定分点；④画频数分布表；⑤画出频数分布直方图。
（6）加权平均数在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数。
3. 概率
①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验；②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件 A的概率；③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；⑤必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是0，因此0≤P(A)≤1；⑥必然事件和不可能事件统称为确定事件。
二、题型解读
考例：某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：
公式
公式
（1）本次调查的学生总数为人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是小时，众数是 小时；
【答案】50，4，5
【解析】∵ 课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，
｀公式
∵ 课外阅读4小时的人数是32%，
｀ 50×32%＝16(人)，
｀ 男生人数＝16-8＝8(人)；
｀ 课外阅读6小时的人数＝50-6-4-8-8-8-12-3＝1(人)，
｀ 课外阅读3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，
｀ 中位数是4小时，众数是5小时。
（2）在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是；
【答案】144°
【解析】∵ 课外阅读5小时的人数是20人，｀公式
（3）若全校九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？
【答案与解析】∵ 课外阅读5小时的人数是4人，
｀ 公式 (人)。
答：九年级一周课外阅读时间为6小时的学生大约有56人。
考例：（2016?安徽模拟）为了解外来务工子女就学情况，某校对七年级各班级外来务工子女的人数情况进行了统计，发现各班级中外来务工子女的人数有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅统计图：（1）求该校七年级平均每个班级有多少名外来务工子女？并将该条形统计图补充完整；（2）学校决定从只有2名外来务工子女的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名外来务工子女来自同一个班级的概率。
【思路点拨】（1）根据外来务工子女有4名的班级占20%，可求得有外来务工子女的总班级数，再减去其它班级数，即可补全统计图；（2）根据班级个数和班级人数，求出总的外来务工子女数，再除以总班级数，即可得出答案；（3）根据（1）可知，只有2名外来务工子女的班级有2个，共4名学生，再设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图，再根据概率公式即可得出答案。
【答案与解析】解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），只有2名外来务工子女的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）=2（个），条形统计图补充完整如下公式
该校平均每班外来务工子女的人数为：（1×2+2×2+3×3+4×4+5×5+6×4）÷20=4（个）；（2）由（1）得只有2名外来务工子女的班级有2个，共4名学生，设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，画树状图如图所示；由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有4种情况，则所选两名外来务工子女来自同一个班级的概率为：公式
公式【总结升华】注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=符合条件的情况数与总情况数之比。
考例：连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准。
为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下：公式
（1）求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；（2）根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多少次较为合适？请简要说明理由；（3）根据（2）中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？
【思路点拨】确定众数的方法是找该组数据中出现次数最多的数，如果有多个数出现的次数相同,那这些出现次数相同的数都是这组数据的众数；平均数、众数、中位数及其应用，在中考试卷中它们有机地交汇于实际情境中，考查应用意识。
【答案与解析】（1）该组数据的平均数
公式
众数为18，中位数为18；（2）该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为 18次较为合适，因为众数及中位数均为18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多数人达标；（3）根据（2）的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为 82%。
考例：（2016?郑州一模）为了了解学生关注热点新闻的情况，郑州“上合会议”期间，小明对班级同学一周内收看“上合会议”新闻次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）。根据上述信息，解答下列问题：（1）该班级女生人数是人，女生收看“上合会议”新闻次数的中位数是次，平均数是 次；（2）对于某个性别群体，我们把一周内收看热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”；如果该班级男生对“上合会议”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；（3）为进一步分析该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的特点，小明相比较该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的离散程度，那么小明要关注的统计量是 。
公式
【思路点拨】（1）将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数。（2）先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可。（3）比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的离散程度，小明需要关注方差。【答案与解析】解：（1）20，3，3；（2）由题意知：该班女生对新闻的“关注指数”为65%，所以，男生对新闻的“关注指数”为60%。设该班的男生有x人．
解得：x=25． 经检验x=25是原方程的解．答：该班级男生有25人；（3）小明相比较该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的离散程度，那么小明要关注的统计量是方差。故答案为20，3，3；方差。
友情提醒
每周中考各科目复习模拟题依次排序如下：星期一（政史），星期二（化学），星期三（语文），星期四（英语），星期五（数学），星期六（物理），敬请关注。
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