圆锥曲线综合问题探秘
一．高考解读：
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以压轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计以后高考仍将以以下三类题型为主。
1．求曲线（或轨迹）的方程以及圆锥曲线定义的考查，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；
2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
3．直线与圆锥曲线的位置考查，考查直线过定点等。
二．要点小结：
1．求圆锥曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}。3、“代”：代换，用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0。4、“化”：化简，化方程f(x,y)=0为最简形式。5、证明，证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
2.求圆锥曲线方程的常见方法：（一）．直接法：这是求圆锥曲线方程的基本方法。（二）．转移法：这个方法又叫相关点法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。（三）．几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
3．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：
（1）|AB|= 1+k
2姨 ·|x
1
-x
2
|= 1+k
2姨 · (x1+x2)2姨 -4x
1
x
2
或|AB|= 1+1
k
2
姨 ·|y1-y2|= 1+1
k
2
姨 · (y1+y2)2-4y1y2姨
若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值． 注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：（3）知识交汇题
圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题，尤其是与向量交汇是近年高考热点。
三．考点解析：
题型1：几何法或转移法求轨迹方程：
例1．（1）一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线x2
9-y2=1有动点P，F
1
F
2
是曲线的
两个焦点，求ΔPF
1
F
2
的重心M的轨迹方程。
解析：（1）（法一）设动圆圆心M（x,y）为，半径为R，设已知圆的圆心分别为O
1
、O
2
，
将圆方程分别配方得：(x+3)2+y2=4，(x-3)
2+y2=100，
当圆M与圆O
1
相切时，有|O
1
M|=R+2①
当圆M与圆O
2
相切时，有|O
2
M|=10-R②
将①②两式的两边分别相加，得|O
1
M|+|
O
2
M|=12，即 (x+3)2+y2姨 + (x-3)2+y2姨 =12③整理得x2
36+y227=1，所以，动圆圆心的轨迹方程
是x2
36+y227=1，轨迹是椭圆。
（法二）由解法一可得方程
(x+3)2+y2姨 + (x-3)2+y2姨 =12，
由以上方程知，动圆圆心M(x,y)到点O
1
(-3,0)和O
2
(3,0)的距离和是常数，所以M点的轨
迹是焦点为O
1
(-3,0)、O
2
(3,0)，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，∴2c=6，2a=12，∴c=3，a=6，∴b2=36-9=27，
∴圆心轨迹方程为x2
36+y227=1。
（2）设P,M点坐标各为，P(x1,y1)M(X,Y)∴在已知双曲线方程中a=3,b=1，∴c= 9+1姨 =10姨 ∴已知双曲线两焦点为F
1
(- 10姨 ,0)(10姨 ,0)，
∵ΔPF
1
F
2
存在，∴y1≠0由 三 角 形 重 心 坐 标 公 式 有 x=
x1+(- 10姨 )+ 10姨
3y=y
1
+0+03即x
1
=3xy
1
=3y。
∴y1≠0，∴y≠0。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有(3x)2
9(3y)2=1(y≠0)即所求重心M的轨迹方程为：x2-9y2=1(y≠0)。
点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。题型2：圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题：例2．已知椭圆G：x2
4+y2=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值。解：（Ⅰ）由已知得a=2b=1所以c= a2-b2姨 - 3姨所以椭圆G的焦点坐标为(- 3姨 ,0)，( 3姨 ,0)离心率为e=c
a= 3姨
2
（Ⅱ）由题意知|m|≥1，.当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为(1, 3姨
2)(1,- 3姨
2)此时|AB|= 3姨当|m|=－1时，同理可得|AB|= 3姨当时|m|＞1，设切线l的方程为y=k(x-m)由y=k(x-m)x2
4+y2=1得（1+4k2）x2-8k2mx
+4k2m2-4=0；设A、B两点的坐标分别为(x
1
,y
1
)
(x
2
,y
2
)，则x
1
+x
2
=8k2m1+4k2,x
1
x
2
=4k2m2-41+4k2;
又由l与圆x2+y2=1相切，得 |km|
k2+1姨=1,即m2k2=k2+1
所以
|AB|=（x
2
-x
1
）2+(y
2
-y
1
)2姨
= (1+k2)[64k4m2
(1+4k2)2-4(4k2m2-4
1+4k2]姨 =4 3姨 |m|
m2+3
由于当m=±3时|AB|= 3姨 ，因为|AB|=4 3姨 |m|
m2+3= 4 3姨|m|+ 3
|m|≤2
且当m=± 3姨 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2
点评：本题主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。韦达定理以及判别式问题是解题的关键。
例3． 在平面直角坐标系中xOy，直线l:x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l
1
与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。
解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，
∵∠MPQ=∠AOP,∴MP⊥l，且|MO|=|MP|因此 x2+y2姨 =|x+2|即y2=4(x+1)(x≥-1)①
另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。
MQ为线段OP的垂直平分线，∴∠MPQ=∠MOQ又∵∠MPQ=∠AOP∴∠MOQ=∠AOP
因此M在x轴上，此时，记M的坐标为（x,0）
为分析M(x,0)的x变化范围，设P(-2，a)为l上任意点(a∈R)
由|MO|=|MP|（即）|x|= (x+2)2+a
2
姨 得，
x=-1-1
4
a2≤-1
故M(x.0)的轨迹方程为y=0,x≤-1②
综合①和②得，点M轨迹E的方程为y2=4(x+1),x≥-10,x＜-1（2）由图3知，直线l
1
的斜率k不可能为零。
设l
1
:y+1=k(x-1)(k≠0)
故x=1
k(y+1)+1代入E
1
的方程得：y2-4
ky-(4
k-8)=0
因判别式△=16
k
2
+4(4
k+8)=(4
k+2)2+28＞0
所以l
1
与E中的E
1
有且仅有两个不同的交点。
又由E
2
和l
1
的方程可知，若l
1
与E
2
有交点，
则此交点的坐标为（k+1
k,0）,且k+1
k＜-1即当-1
2＜k＜0时，l
1
与E
2
有唯一交点，直线l
1
的斜
率k取值范围是（-∞,-1
2）∪(0,+∞)
题型3：与向量、三角等知识交汇题：例4．P（x
o
,y
o
）(x
0
≠±a)是双曲线E：x
2
a
2
-y
2
b2=1(a＞0,b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为1
5.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC=λOA+OB，求λ的值.【解析】（1）由题意可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2则e=c
a= 30姨
5
，（2）联立x2-5y2=5b2y=x-c，得4x2-10cx+35b2=0，设A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)则x
1
+x
2
=5c2x
1
x
2
=35b24，设OC=(x
3
,
y
3
)，OC=λOA+OB，即x3=λx
1
+x
2
y3=λy
1
+y
2
又C为双曲线上一点，即x
32-5y
32=5b2，有λ
(x1+x2)2-5(λy1+y2)=5b2
得：λ2+4λ=0,解出λ=0，或λ=-4
点评：本小题考查了平面向量的基本运算,向量方程等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。
四．总结提高：
1． 注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质；
2．重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程
解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的。（三台县芦溪中学 何道明）
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