正确理解函数的概念
y=x+1
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济宁市特殊教育学校张岩
函数的概念重要而基本，它是我们了解函数的意义和函数的表示方法的基础，同时也是我们后面学习一次函数、二次函数、反比例函数等函数的基础。新修订的人教版八年级数学下册73页是这样定义函数概念的：“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent variable），y是x的函数（function）。”要正确理解这一概念，就应对上述定义中的每一句，一一剖析，弄清其中的含义。
语句一：“在一个变化过程中有两个变量x和y”
“在一个变化过程中有两个变量”，是指一个是自变量，另一个是因变量，其中自变量的变化才能引起因变量的变化。因此，函数关系是指两个变量之间的一种特殊的对应关系，即变量x与变量y之间存在的对应关系。如函数y=2x+1中的对应关系是指：因变量y对应于自变量x的2倍再加上1的和。
语句二：“对于x的每一个确定的值”
“对于x的每一个确定的值”，这句话有两层含义，就是自变量x的取值要使：（1）对应关系（函数关系式）有意义。如函数中，x的取值为x≥-1；（2）某一变化过程（实际问题）有意义。如：一段长20km的马路，一名行人每小时走5km，则剩余的路程s（km）与行走时间t（h）的函数关系式为s=20-5t，其中t只能在0≤ t ≤4范围内取值。
语句三：“y都有唯一确定的值与其对应”
这里“y都有唯一确定的值”是指有且只有一个值。因此，自变量x在其取值范围内的每一个确定的值，函数y都有一个且只有一个值与它对应。如：式子y2=x中，自变量x每取一个值，y都有唯一确定的一个值与它对应，所以说y是x的函数；式子y2=x中，尽管y与x之间有一种对应关系，但由于变量x在x＞0的范围内每取一个值，y都有两个确定的值与它对应，所以y不是x的函数。由此可看出，当自变量在其取值范围内每取一个确定的值时，因变量能否有唯一确定的值与它对应，就成了我们判断两个变量是否构成函数关系的依据。
三点注意
1.自变量与因变量用什么字母表示无关紧要，如式子S=πr2，y=πx2，A=πx2都可以表示圆的面积与半径之间的关系。
2.“对应”并不意味着y值一定随x值的变化而变化，即对应自变量x的每一个不同的值，因变量y不一定都是不同的值与它对应。如：函数y=（x+1）（x-1）-x2，对于x的任意一个值，y的对应值都等于-1，始终不变。
3.函数不是数，它是指某一个变化过程中两个变量之间的关系。
实例辨析
例1判断下列各题。
（1）2x-y=5-x中的y是不是x的函数？
（2）4x2=y中的x是不是y的函数？
解析（1）用x的代数式表示y，得y=3x-5。当x任意取定一个值时，y=3x-5也随之唯一确定，所以y是x的函数。
（2）用y的代数式表示x，得x2=y。y的取值范围为y≥0，在此范围内y任取一个确定的值（如y=16时），有两个确定的值与它对应（如x=±2），可见x不是y的函数。
例2自由下落的物体高度h（m）与下落时间t（s）的关系为h=4.9t2。问高度h可以看做是时间t的函数吗？
解析由于每给定一个时间t的值，都能唯一确定一个高度h的值，因此，高度h可以看做是时间t的函数。
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