那些让学术名流刻骨铭心的数学题
林开亮 返朴The solution of problems is the most characteristic and peculiar sort of voluntary thinking.
——威廉·詹姆斯（William James，美国心理学家，1842-1910）
撰文 | 林开亮（西北农林科技大学）
0
瑛 姑
金庸（1924年3月10日-2018年10月30日）
瑛姑是金庸先生 《射雕英雄传》中的“神算子”。在小说中，瑛姑与黄蓉是用几道数学题过招的。黄蓉（请注意，她老爹是东邪黄药师，擅长“奇门数术”）临走时给瑛姑出的三道难题如下：
第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、罗、计都的“七曜九执天竺笔算”；
第二道是“立方招兵支银给米题”；
第三道是“鬼谷算题”："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"
其中第三道题最有名，涉及数论中著名的中国剩余定理，我们曾在好几篇文章中介绍过，参见
一周一定理No.1 中国剩余定理
从《射雕英雄传》到《九章算术注》
算命是胡扯，猜姓却不然
第二道题涉及高阶等差数列的求和，我也在给中学生和大学生的通俗报告中提到过，见
从《射雕英雄传》到《四元玉鉴》
微积分之前奏1：高阶等差数列的求和
至于第一题，恕我无知，至今仍不清楚金庸先生具体指的是哪个问题。毫无疑问的是，黄蓉出的第二题与第三题分别代表了我国古代数学的两项杰出成就，由此可以揣测，第一题也当如此。照西北大学数学史家曲安京教授的看法，中国古代数学有三部集大成的代表作，《九章算术》（西汉）、《数书九章》（南宋）与《四元玉鉴》（元代）。黄蓉出的第二题与第三题之详细讨论，就分别见于后两部著作。
相信读者已经看出，鄙人确实是金庸的忠实粉丝。实际上，我几年前就有想法要给金庸先生写封信，问询他老人家何以会想到在《射雕英雄传》中塑造这样一个“神算子”形象，并借黄蓉之口道出中国古代数学的这些杰出成就，他又是何以了解到中国古代数学这些杰出成就的。后来我将这一想法转告了香港中文大学的陈方正教授，他告诉我，金庸先生身体不好，建议我不要打扰，我就作罢了。
最近我从网上读到一篇文章，对我的问题给出了一个指引，其中有这样一段：
金庸年轻时在《大公报》上写过一篇随笔《圆周率的推算》（后来收进《三剑楼随笔》，全文见本号二条），里面提到一本《算学的故事》：“我在初中读书时，教我数学的是章克标先生*，他因写小说出名，为人很是滑稽，同学们经常和他玩闹而不大听他讲书。他曾写过一部《算学的故事》，其中说到有一个欧洲青年花了极长的时间，把圆周率推算到小数点后六百多位。这个圆周率，当然是毫无实用价值的。”
*注：章克标（1900-2007）是东京高等师范学校数学系的学生，回国后任教于中学与大学，先教数学，转向文学后，又教过语文。有兴趣的读者，可见其自传《世纪挥手》，书名乃金庸手书。
今天我要写的这个题目，一方面是受到黄蓉提问的启发，另一方面也是受到金庸《天龙八部》里的一段情节（第46节，酒后君问三语，西夏公主提问招亲）的启发，有兴趣的读者可见下述视频，我不再展开（我觉得这本质上是一个对偶的话题：你所提出的最好的问题是什么？）：
西夏公主（毋宁说是金庸前辈）提出三个简单的问题：
你一生中最逍遥快活的地方在哪里？
你生平最心爱的人是谁？
你最爱的这个人相貌如何？
让天下群雄尽显各自本色（最令人唏嘘的是乔峰的回答，不过在原著中，乔峰是先行离开从而回避了这些问题）。好了，我们就此打住。现在我们来看几位著名人物所分享的刻骨铭心的数学题吧！
1
杨振宁（1922-）
杨振宁
在华东师范大学数学系张奠宙教授对杨振宁先生的访谈（参见《杨振宁和当代数学》）中， 杨振宁先生提到了他在西南联大时，陈省身先生给他们出的一个题目：
在西南联大，我很可能旁听过陈省身的好几门数学课，但是根据保存至今的成绩单，我只是在1940年秋季学期正式选修过他讲授的微分几何课程。当时我是物理系的三年级学生。
张：这门课您有所得益吧?
杨：当然。不过我已经记不清楚上课的情形了，只有一件事印象很深：如何证明每一个二维曲面保角等价于平面？我知道如何把度量张量化成
的形式，但是想了很久都想不出怎样使A=B。有一天，陈先生告诉我要用复变量，并写下：
这个式子。学到这简单的妙诀，是我毕生难忘的经历。
最近我从西北大学数学系刘建新博士的博士论文中得知，原来这结果和技巧都归功于高斯（Gauss）。杨振宁这段回顾的重点是，陈省身令他认识到复数的重要性。陈省身先生常说的一句话是，复数使数学简单化（一个最显著的例子是代数基本定理：多项式在复数域内必有零点）。我想法国数学家阿达玛 (Hadamard) 的一句名言很能够表达这个意思：
2
徐利治（1920-2019）
徐利治
在我读过的所有中国数学家的传记与访谈录中，我最喜欢的是关于徐利治的一本：《徐利治访谈录》（袁向东、郭金海访谈整理，湖南教育出版社，2009年）。徐利治在书中谈到了许多有趣的东西，如他眼中的华罗庚、陈省身与许宝騄等（参见徐利治先生访谈录：我所知道的华罗庚与陈省身）。他在书中分享了在西南联大求学时请教陈省身的一道题目（见上书73-74页）：
我在西南联大二年级的时候，有一次到数学系办公室请教陈先生一个级数求和问题。这个问题是：
如何计算？
陈先生看了很久，没有回答出来。后来我才知道，这个求和问题没有精确的公式表达，但可以用欧拉-麦克劳林求和公式（Euler–Maclaurin formula）做近似计算。可见，当时陈先生的分析基础也不是十分强。
这里徐利治先生分享了他的后见之明：这个和是求不出来的——其结果没有一个简单的公式表达。那么能做的，只是近似求和，即，求出这个和的一个近似值。换言之，我们所能解决的，是下述问题（请注意，这里改变了问题的提法，唯有如此，方才可解）：
问题0：求
的近似值。
徐利治想到的方法是用欧拉-麦克劳林求和。照理说，这个方法如此基本，陈省身不大可能不知道。所以，更有可能的是，陈省身装作不知，让徐利治自己去钻研。
上面将问题重新表述的变通策略，正好印证了挪威数学家阿贝尔（Abel）的高见：
人们应该力求给问题一种形式，使得它总是可解的，这总是可能的。以恰当选择的形式提出问题，其叙述本身就会包含着解答的种子。
阿贝尔
3
何兆武（1921-）
何兆武
我还想到西南联大的另一位杰出校友，他叫何兆武，著名的历史学家。在其自传《上学记》（何兆武口述，文靖执笔）一书（90-91页）中，他曾回忆起他参加1939年西南联大高考时所遇到的一道数学题：
那一年数学考题非常之难，也不知道是谁出的，比我们中学所学的更深。其中有一个题目我还记得，在椭圆上任取一个点，问：把这个点到椭圆上每个点连线的中点连接起来，是什么图形，并列出方程。
我知道连起来是一个内切小椭圆，给描出来了，可是列不出公式。有个同学数学学得非常好，考完了以后跟我讲，这道题不能用正坐标（即直角坐标）表述，得用极坐标。经他一说，我就想起来了，所以印象特别深。另外，这件事也给了我极大的启发，一个终生受益的启发：当我们的思想解释不通的时候，就得换一个坐标，不能死硬地按原来的模式去套。
我想，历史中真正学术上、思想上的重大突破，大概都需要坐标的转换。有些用原来的坐标解释不了了，却仍在那里生搬硬套，是行不通的。
威廉·詹姆斯：我这一代人的最大发现是，个人可以通过改变其态度来改变人生。
1939年高考题，即报考工学、理学、物理、化学、天文、气象、土木、师范之数理化等专业者。当年的命题人是江泽涵（召集人）、杨武之、姜立夫、赵淞。
1939 年国立各院校统一招生数学试题 (应第二组考试者试之) 
本人尝试了一下，感觉这个问题用直角坐标也很简单。不过，我对何兆武先生最后的领会（换坐标）深有共鸣。我们曾指出，江湖上有些算命术士很会利用坐标，见《? 算命是胡扯，猜姓却不然——续篇》。
顺便说一句， 第一节里陈省身先生出给杨振宁的那个题目，其实就是证明曲面上存在等温坐标（一种方便的坐标）。
4
阿诺德（V. I. Arnold，1937-2010）
阿诺德
跟俄国的许多数学大师（如柯尔莫果洛夫、盖尔范德）一样，阿诺德 (1937-2010) 不仅是卓有成就的数学家，也是极优秀的数学教育家。他曾写过一本书：
其中收入了为5-15岁的孩子准备的77个数学问题，有兴趣的读者，也可以参见 《一位伟大数学家给孩子出的数学题》。
我们选取其中一道分享给读者，尤其建议那些想了解国家公务员考试数学考题的读者考虑一下，因为两者水平相当。
问题1：甲、乙两个老太太在日出时同时出发，甲从A地往B地走，乙从B地往A地走，都是匀速前进。她们在正午相遇，然后继续不停地走，甲到达B地的时间是下午4点，而乙到达A地的时间是下午9点。问，当天日出的时间是几点？
阿诺德在1991年的Notices访谈中曾说：“当时我花了一整天的时间来思考这个老掉牙的问题，而答案则是一种出乎意料的方式得到的。”当时他还是小学生，不知道今天的小学生要多久才能想出答案呢？
5
几个补充的练习
《射雕英雄传》之东邪西毒
问题2（小学水平，加州大学伯克利分校数学系伍鸿熙教授提供）：
有一杯红酒和一壶茶水，先从茶水中盛一勺倒入红酒中，均匀搅拌后再盛一勺倒回茶水中。请问此时杯中含有的茶水和壶中含有的红酒，哪个更多？如果没有搅拌均匀，情况又会怎样？
（有兴趣的读者，可以参考伍鸿熙教授《数学家讲解小学数学》第23章“一些有趣的应用题” 问题4，中译本（赵洁、林开亮译，北京大学出版社）第316页）
问题3（小学-初中水平，西北大学数学系刘建新博士提供）：
如图，从A到B有两条路线。绿色路线由一条竖直方向的线段和一条水平方向的线段组成；红色路线是阶梯状的，每段线段分别是水平和竖直的。问两条路线哪个更近？
问题4（小学-初中水平，本人经历，犹记当时很多带表的同学在拨动发条）：
在7点到8点之间的哪一个时刻，手表上的时针与分针重合？
问题5（初中水平，本人初三经历，曾作为思考题在课堂上出给大一新生）：
在下述矩形中，已知三个角上的三角形的面积分别为3，4，5，求中间的三角形的面积。
注：对这个问题，南开数学所唐梓洲教授跟清华扶磊教授讨论给出了一个小学水平的高明解法。
问题6（高中水平，西北农林科技大学物理系刘昌勇教授提供，是1939年数学高考题第一题，见何兆武那一节的图片）：
已知
为方程式
的一根，求其余各个根。
问题7 （高中水平，中央民族大学数学系王兢老师提供，是波利亚《怎样解题》中译本75页“定义”一节的例子）：
给定一条直线，又给定一条抛物线的焦点和准线，用尺规作图找出该直线与抛物线的交点。
问题8（大学水平，美国加州大学尔湾分校数学系陆志勤授提供）：
证明：在n维欧氏空间中，两两夹角为钝角的向量至多有 n+1 个。
问题9（大学水平，不久前准备一个科普报告时遇到，是剑桥大学本科生荣誉学位考试的题目，我也不会，一并求教方家）：
如图，证明人在深水中平稳游泳时激起的波浪其夹角总是2arcsin(1/3)。
该题是桥大学数学系本科生主页（https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad）上的一个Tripos考题。
6
结语
欢迎大家在留言区分享那些让你刻骨铭心的数学题（不要太难哦）。这样吧，我再借花献佛，分享我一个好友（天津大学物理系刘云朋教授）的反馈：
我最先想到的是：走二维迷宫（在像二维码一样的方块区域开一个入口、一个出口，要在里面从入口走到出口那种）的通用解法：从入口摸着一侧的墙壁一直走下去就能出去了。照我的理解，迷宫的解就是找一条线把两个彼此不连通的区域分开，那么沿着一个连通区域的边界转一圈就行了。从拓扑的角度看，迷宫就不迷了
好了，我要说的说完了，轮到你们啦。
致谢：感谢中科院自然科学史研究所郭金海研究员为我提供1939年的高考数学试卷文献，感谢西北农林科技大学尹昌辉同学、姚健同学、聂嘉玥同学提供技术支持！感谢天津大学物理系刘云朋教授、数学系刘志新教授、西北农林科技大学物理系刘昌勇教授、上海交通大学数学系吴耀琨教授、李吉有教授、中央民族大学数学系王兢教授、中国传媒大学陈见柯教授、中国矿业大学张汉雄教授、西北大学数学系刘建新博士、以及友人张宝群博士、张浩博士、叶卢庆老师的分享交流。
本文第一版曾发表于微信公众号“好玩的数学”，此文为作者最新修订版。
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原标题：《那些让学术名流刻骨铭心的数学题》
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