理发师不帮自己理发的人理发那他该不该帮自己理发？

澎湃新闻 2020-12-06 07:34 大字

原创 Helen 罗博深数学本文来自公众号「罗博深数学」

公众号ID｜LuoboshenMath

作者｜Helen

导语

我们必须知道，我们必将知道。

Wir mu?ssen wissen, wir werden wissen

——大卫·希尔伯特，德国数学家大卫·希尔伯特（1862－1943年）

早在苏格拉底之前的那个传闻中早已失落的“众神时代”，普罗泰戈拉（Protagorus）就提出“人是万物的尺度，是存在的事物存在的尺度，也是不存在的事物不存在的尺度。” 从那时起，“人”和“人的认知”开始成为我们关注的命题。

“什么是人”，“什么是世界”，“人怎样认识世界”，这都是哲学史上永恒的话题。数学家认识世界的方式就是一步一步的证明。罗教授也常常提到，因为证明中的每一个步骤都值得信赖，我们才得以从已知一步一步走向未知，将一个信仰转移到另一个信仰。我们能够依靠现有的证明方法来探究所有数学问题吗？人类的认知，有极限吗？1900年，希尔伯特（David Hilbert）提出了他著名的23个问题，这23个问题涉及了数学的方方面面，一直到今天还指导着数学家们前进的方向。其中第二个问题，也是有名的“判定问题”。这个问题直指数学的基础，这个问题的答案关系着我们认识世界的方式。

我们关心整个数学体系是否完备和一致，是不是所有数学命题都是非黑即白？是不是都可以通过有限次正确的数学步骤作出判定? 我们总是希望当我们通过数理逻辑来探索世界的时候，每个命题，要么是真，要么是假。更重要的，我们需要知道所有的命题都是可以被判定的。“上帝真的存在吗？”很多人认为答案是肯定的；也有人认为答案是否定的；更有些人认为我们永远没办法得到答案。当然了，这并不是个数学问题，而希尔伯特也不希望数学体系中有这样的问题存在。大卫·希尔伯特

希尔伯特雄心勃勃，要将整个数学体系严格公理化，然后用他的“元数学”来证明整个数学系统是坚不可摧的。这也就是赫赫有名的“希尔伯特计划”:

1. 首先，将所有数学形式化，把每一个数学陈述都用符号来表达。你可能还记得我们学过的（任意，“?”，存在，“彐”）等等。因为逻辑关系是有限的，符号必然也是有限的。再加上有限的英语字符，我们可以将这些元素统统编码，用自然数表示清楚。

2. 然后，证明整个数学系统是完备（complete）的，即对任何一个数学陈述都存在一个数学证明。

3. 同时，还要证明数学是一致（consistent）的，也就是说这个数学系统绝不存在自相矛盾的命题。

4. 最后，还要有一个可以实现的算法，通过有限步程序最终对数学命题进行判定。理想的宏图已经展开，希尔伯特对这个非常自信，并且断言，“不存在不可解的问题”。像任何理想主义者一样，希尔伯特痛恨矛盾共同体，更痛恨不能被解决的问题。库尔特·弗雷德里希·哥德尔（1906年－1978年）

1930 年 9 月 7 日，时年 25 岁的数学家哥德尔（Kurt Friedrich Go?del）发表了著名的“不完备定理”（Imcompleteness theorem）: “如果一个数学系统是一致的，那么它就是不完备的”。换句话说，哥德尔证明了任何一个包含算术系统在内的数学系统不可能同时是完备的和一致的。

这里提到的算术系统是指皮亚诺（Giuseppe Peano）在19世纪时建立了一个看似完备的算术系统，根据几条基本公理即可以推导出其他复杂运算法则。这就是“希尔伯特计划”的第二步，数学家们曾经设想在此基础上建立起整个完备的数学系统。也就是说，用不着什么复杂完备的系统，人们如果能在一个数学系统中做最简单的算术，那么这个系统或者是自相矛盾的，或者存在一些结论在这个系统内是无法证明的。其次, 他证明了，对于任意一个包含算术系统的数学系统来说，不可能在这个系统内部证明它本身的一致性：我们不能用某个数学系统里所有的逻辑来证明这个数学系统不是自相矛盾的。也就是说王婆卖瓜，卖瓜就卖瓜，但是不能自卖自夸。而那个卖矛又卖盾的大哥，用他自己的矛攻击自己的盾，结果是不可知的。

哥德尔的结论对当时整个数学界来说无疑是一次颠覆性的冲击。80多年过去了，“哥德尔不完备定理”的影响仍然持续着，甚至成为了“火出圈”的“爆款定理”。许许多多的读者都对它有着各种各样的解读。其中一种解读认为哥德尔证明了人类的认知是有极限的，开始批判人类的理性，甚至将之作为不可知论的支持证据之一。像总是被误解的尼采一样，提到不完备定理，我们想到的是人类理性认知的滑铁卢，这样的印象是片面的。伯特兰·亚瑟·威廉·罗素（1872年－1970年）

“哥德尔不完备定理”的证明并不是人类理性的极限，恰恰相反，它是人类的理性之光。它本身的深刻就是人类理性的智慧最好的证明。我想了一下，这个证明的味道，和罗素悖论非常相似。这个悖论大家可能听说过。上初中的时候，老师教我们认识集合，说给定一个性质，满足这个性质的所有元素总可以组成一个集合。比如卡耐基梅隆大学的所有毕业生就是一个集合。但是罗素（Bertrand Russell）想了一想，觉得这个事情不靠谱。比如现在我们有一个集合A, 这个集合里面所有的元素有这个一个性质：它不属于它自己（它不是自己这个集合里的元素）。那么对于A本身来说，有两种情况：

1. A属于自己，那么它是自己这个集合里的元素。但是我们说A这个集合里的元素都不属于自己，所以不是自己这个集合里的元素，矛盾。

2. A不属于自己，那么它不是自己这个集合里的元素。但是根据A这个集合的性质，我们知道所有不属于自己的集合都是A的元素，仍然矛盾。

其实这个悖论还有一个通俗版本，叫做理发师悖论。

这个城市里唯一的理发师立下了以下的规定：只帮那些自己不理发的人理发。那么理发师应该为自己理发吗？理发师并没有办法决定，因为：

1. 如果理发师不给自己理发，他需要遵守规则，帮自己理发。

2. 如果理发师是自己理发的，他需要遵守规则，不给自己理发。

哥德尔的证明就是我们熟悉的味道，他构造出了一个无法在公理体系内证明的命题。这个命题的内容说的正是“命题自身无法在此公理体系内被证明”。哥德尔清楚地证明了这一点，说明这个命题毫无疑问是正确的。所以，“哥德尔不完备定理”的证明过程其实告诉了我们，存在一个能在这个公理体系内表达的命题，但是在这个公理体系内既不能证明它，也无法证伪它。“哥德尔不完备定理”的确预示着某种“极限”，但这个“极限”只是“某类数学体系的极限”，但并不是“数理逻辑的极限”，也不是“人类理性的极限”，更不是“人类认知的极限”。正相反的，它指引数学家接下来探索的方向。它揭示了公理体系的局限性，告诉数学家们不要奢望仅仅将体系建立在几组公理上，机械地利用“元数学”的基本逻辑规则进行推导，就能够判定所有的数学命题。每一个公理体系，都需要不断的完善自己，才能帮助我们不断认识更加深刻复杂的规律。